Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，E，F(xiàn)，G分別為AC，AA₁，AB的中點，（1）求證：B₁C₁∥平面EFG（2）求三棱錐B₁-EFG的體積．

Answer 1

分析：（1）要證B₁C₁∥平面EFG，只要在平面EFG內(nèi)找出一直線與B₁C₁平行，由E，F(xiàn)為△AB，AC中點，可得GE∥BC．而B₁C₁∥BC，可得B₁C₁∥GE，從而可證
（2））由（1）知可得C₁與B₁到平面EFG的距離相等，則VB1-EFG=VC1-EFG=VG-C1EF，容易證明B₁C₁⊥平面C₁CA₁，而B₁C∥GE，可得GE⊥平面C₁EF，即GE為G到平面EFC₁的距離，代入錐體的體積公式可求

解答：解：（1）E，F(xiàn)為△AB，AC中點，∴GE∥BC．
∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁∥GE，
∵GE?平面GEF，B₁C₁∉平面GEF，
∴B₁C₁∥平面EFG  
（2）∵B₁C₁∥平面EFG，∴C₁與B₁到平面EFG的距離相等．  
∴VB1-EFG=VC1-EFG=VG-C1EF
∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥C₁C₁，A₁C₁∩C₁C=C₁
∴B₁C₁⊥平面C₁CA₁
∵B₁C∥GE∴GE⊥平面C₁EF
∵GE=

1

2

BC=1，SC1EF=2×2-

1

2

(1×2+1×1+1×2)=

3

2

∴VB1-EFG=

1

3

×

3

2

=

1

2

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用及錐體的體積的計算，而本題（2）中所采用的換頂點求解三棱錐的體積及求解距離是非常重要的方法，要注意掌握．