Question

已知△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2

B

2

=

3

sinB，b=1．
（1）若A=

5π

12

，求邊c的大小；   
（2）求AC邊上高的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化簡已知等式，求出角B，進一步求出角C，利用三角形的正弦定理求出邊c的值．
（2）設(shè)出AC邊上高，利用三角形的面積公式列出等式，得到高h與邊a，c的關(guān)系，利用余弦定理得到三角形的三邊間的關(guān)系，利用基本不等式求出ac的范圍，進一步求出高的取值范圍．

解答：解：（1）1+cosB=

3

sinB，
∴2sin(B-

π

6

)=1，
sin(B-

π

6

)=

1

2

所以B-

π

6

=

π

6

或

5π

6

（舍），
得B=

π

3

A=

5π

12

，則C=

π

4

，
∵

c

sinc

=

b

sinB

，
得c=

6

3

（2）設(shè)AC邊上的高為h，
S△ABC=

1

2

bh=

1

2

h，
S△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac，
∴h=

3

2

ac
又b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥ac，
∴ac≤1
∴h=

3

2

ac≤

3

2

，
當a=c時取等號
所以AC邊上的高h的最大值為

3

2

．

點評：求三角形的邊、角問題，一般利用三角形的正弦定理、余弦定理來解決；利用基本不等式求函數(shù)的最值問題，一定注意使用的條件：一正、二定、三相等．