Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直線梯形，∠ADC為直角，AD∥BC，AB⊥AC，AC=AB=2，G是△PAC的重心，E為PB中點，F(xiàn)在線段BC上，且CF=2FB．
（1）證明：FG∥平面PAB；
（2）證明：FG⊥AC；
（3）求二面角P-CD-A的一個三角函數(shù)值，使得FG⊥平面AEC

Answer 1

分析：（I）欲證FG∥平面PAB，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證FG與平面PAB內(nèi)一直線平行，連接CG延長交PA于M，連BM，根據(jù)比例可得FG∥BM，BM?平面PAB，F(xiàn)G?平面PAB，滿足定理條件；
（II）欲證FG⊥AC，而FG∥BM，可先證AC⊥BM，欲證AC⊥BM，可證AC⊥平面PAB，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AC與平面PAB內(nèi)兩相交直線垂直，而PA⊥AC，又AB⊥AC，PA∩AB=A，滿足定理條件；
（III）連EM，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠PDA二面角P-CD-A的平面角，在三角形PDA中求出此角的正切值即可．

解答：證明（I）連接CG延長交PA于M，連BM，
∵G為△PAC的重心，∴

CG

GM

=2：1又∵

CF

FB

=2：1，∴FG∥BM．
又∵BM?平面PAB，
∴FG?平面PAB，
∴FG∥平面PAB（4分）
（II）∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AC，又AB⊥AC，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB，∴AC⊥BM．
由（I）知FG∥BM，∴FG⊥AC（7分）
（III）連EM，由（II）知FG⊥AC，∴FG⊥平面AEC的充要條件是：
FG⊥AE，即BM⊥AE，又EM=

1

2

AB=1，
設(shè)EA∩BM=H，則EH=

1

2

HA，
設(shè)PA=h，則EA=

1

2

PB=

1

2

4+h2

，EH=

1

3

EA=

1

6

4+h2

，
∵Rt△AME～Rt△MHE，
∴EM²=EH•EA．
∴12=

1

2

4+h2

•

1

6

4+h2

，
∴h=2

2

，即PA=2

2

(9分)
∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥CD，
∴PD⊥CD，
∴∠PDA為二面角P-CD-A的平面角，此時tan∠PDA=

PA

AD

=

2 2

2

=2，
∴當(dāng)二面角P-CD-A的正切值為2時，PG⊥平面AEC（14分）

點評：本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，以及直線與平面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題．