Question

下面有五個(gè)命題：
①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
②終邊在y軸上的角的集合是{a|a=

kπ

2

，k∈Z}；
③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)；
④若cos2α=

1

2

，則α=2kπ±

π

6

（k∈Z）；
⑤函數(shù)y=sin（x-

π

2

）在（0，π）上是減函數(shù)．
其中真命題的序號(hào)是

①

（寫出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

分析：①先進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用求周期的公式即可判斷出是否正確；
②對(duì)k分奇數(shù)、偶數(shù)討論即可；
③令h（x）=x-sinx，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；
④利用終邊相同的角的集合解出即可；
⑤利用誘導(dǎo)公式先進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而可判斷出是否正確．

解答：解：①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=-cos2x，∴最小正周期T=

2π

2

=π，∴函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π，故①正確；
②當(dāng)k=2n（n為偶數(shù)）時(shí)，a=

2nπ

2

=nπ，表示的是終邊在x軸上的角，故②不正確；
③令h（x）=x-sinx，則h^′（x）=1-cosx≥0，∴函數(shù)h（x）在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，故函數(shù)y=sinx與y=x最多只能一個(gè)交點(diǎn)，因此③不正確；
④∵cos2α=

1

2

，∴2α=2kπ±

π

3

，∴α=kπ±

π

6

（k∈Z），故④不正確；
⑤∵函數(shù)y=sin（x-

π

2

）=-cosx，又函數(shù)y=cosx在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞減，∴函數(shù)y=sin（x-

π

2

）=-cosx在區(qū)間（0，π）是單調(diào)遞增，故⑤不正確．
綜上可知：只有①正確．
故答案為①．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、三角函數(shù)取值及終邊相同的角，利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)和利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．