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        1. 【題目】已知f(x)=lnx,g(x)= x2+mx+ (m<0),直線l與函數(shù)f(x)的圖象相切,切點的橫坐標為1,且直線l與函數(shù)g(x)的圖象也相切.
          (1)求直線l的方程及實數(shù)m的值;
          (2)若h(x)=f(x)﹣x+3,求函數(shù)h(x)的最大值;
          (3)當0<b<a時,求證:f(a+b)﹣f(2a)<

          【答案】
          (1)解:∵f'(x)= ,∴f'(1)=1.∴直線l的斜率為k=1,且與函數(shù)f(x)的圖象的切點坐標為(1,0).

          ∴直線l的方程為y=x﹣1.

          又∵直線l與函數(shù)y=g(x)的圖象相切,

          ∴方程組 有一解.由上述方程消去y,并整理得

          x2+2(m﹣1)x+9=0

          方程①有兩個相等的實數(shù)根,∴△=[2(m﹣1)]2﹣4×9=0

          解得m=4或m=﹣2;∵m<0∴m=﹣2


          (2)解:由(1)可知g(x)= ﹣2x+ ,∴g'(x)=x﹣2

          h(x)=f(x)﹣x+13=lnx﹣x+3(x>0).h'(x)= ﹣1=

          ∴當x∈(0,1)時,h'(x)>0,當x∈(1,+∞)時,h'(x)<0.

          ∴當x=1時,h(x)取最大值,其最大值為2


          (3)解:證明: f(a+b)﹣f(2a)=ln(a+b)﹣ln2a=ln

          ∵0<b<a,0<

          由(2)知當x∈(0,1)時,h(x)<h(1)∴即x∈(0,1)時,lnx﹣x+3<2,lnx<x﹣1

          ln

          ∴f(a+b)﹣f(2a)<


          【解析】(1)首先求出直線l方程為y=x﹣1,直線l與函數(shù)y=g(x)的圖象相切,所以有x2+2(m﹣1)x+9=0方程有兩個相等實根.(2)利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,直接求出函數(shù)的最大值即可;(3)由(2)知當x∈(0,1)時,h(x)<h(1),即x∈(0,1)時,lnx﹣x+3<2,lnx<x﹣1來證明.
          【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

          練習冊系列答案
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          (1)求y用x表示的函數(shù)關(guān)系式;
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          B.﹣3n(n+3)
          C.﹣4n(2n+1)
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