Question

．設(shè)函數(shù)f(x)＝－a＋x＋a，x∈(0,1]，a∈R^*.
(1)若f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值．

Answer 1

(1)由f(x)在(0,1]上為增函數(shù)，知f′(x)≥0在(0,1]上恒成立，即a≤在(0,1]上恒成立，故a只需小于或等于在(0,1]上的最小值.
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值時(shí)由(1)的結(jié)論可對a分類討論，分0<a≤及a>兩種情況，當(dāng)0<a≤時(shí)，由(1)知f(x)在(0,1]上為增函數(shù)，可求最大值，當(dāng)a>時(shí)，可由導(dǎo)數(shù)求f(x)在(0,1]上的極大值點(diǎn)．
[解析]　(1)f′(x)＝－a·＋1.
因?yàn)閒(x)在(0,1]上是增函數(shù)，
所以f′(x)＝－＋1≥0在(0,1]上恒成立，
即a≤＝在(0,1]上恒成立，
而在(0,1]上的最小值為，
又因?yàn)閍∈R^*，所以0<a≤.
(2)由(1)知：①當(dāng)0<a≤時(shí)，f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，所以f(x)_max＝f(1)＝(1－)a＋1；
②當(dāng)a>時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝∈(0,1]，
因?yàn)楫?dāng)0<x<時(shí)，f′(x)>0，
當(dāng)<x≤1時(shí)，f′(x)<0，
所以f(x)在點(diǎn)x＝處取得極大值，
即為f＝＋a
＝＋a＝a－，
故f(x)_max＝a－.
綜上，當(dāng)0<a≤時(shí)，f(x)_max＝(1－)a＋1；
當(dāng)a>時(shí)，f(x)_max＝a－.
[點(diǎn)評]　①已知f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)可推得x∈[a，b]時(shí)，f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，求單調(diào)區(qū)間時(shí)，令f′(x)>0(或f′(x)<0)．②求f(x)的最大值時(shí)，要比較端點(diǎn)處函數(shù)值與極值的大�。�當(dāng)f′(x)的符號不確定時(shí)，可對待定系數(shù)進(jìn)行分類討論．

略