Question

已知點(diǎn)F橢圓E：+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓E上，以M為圓心的圓與x軸切于點(diǎn)F，與y軸交于A、B兩點(diǎn)，且△ABM是邊長(zhǎng)為2的正三角形；又橢圓E上的P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=x+n對(duì)稱．
（I）求橢圓E的方程；
（II）當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)（0，）時(shí)，求直線PQ的方程；
（III）若點(diǎn)C是直線l上一點(diǎn)，且∠PCQ=，求△PCQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先利用△ABM是邊長(zhǎng)為2的正三角形求出c，再利用點(diǎn)M在橢圓E上即可求橢圓E的方程；
（II）把直線PQ的方程與橢圓方程聯(lián)立求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再利用P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=x+n對(duì)稱．即可求直線PQ的方程；
（III）把△PCQ面積用|PQ|表示出來(lái)，再利用弦長(zhǎng)公式求出|PQ|即可求△PCQ面積的最大值．
解答：解：（I）由題意可知：
M （c，2）且c為正三角形的高，所以c=
將點(diǎn)M坐標(biāo)代入橢圓方程可得：與a²=b²+3聯(lián)立可得：a²=9，b²=6，所以橢圓方程為：
（II）設(shè)PQ：y=-x+m代入橢圓方程2x²+3y²=18整理得5x²-6mx+3m²-18=0
△=36m²-4•5•（3m²-18）＞0，則
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），故
，則P、Q的中點(diǎn)為
由于l方程為，故，得m=-1
則直線PQ的方程為y=-x-1
（III）[1+（-1）²]

=
則當(dāng)m=0時(shí)，S_△POQ的最大值為
點(diǎn)評(píng)：本題是圓錐曲線的綜合大題，主要考查解析幾何的有關(guān)知識(shí)，以及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．