Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F（c，0）是它的右焦點，經過坐標原點O的直線l與橢圓相交于A，B兩點，且

FA

•

FB

=0，|

OA

-

OB

|=2|

OA

-

OF

|，則橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  2

  -1
• D、

  3

  -1

Answer 1

分析：先由題意知：O是AB的中點，三角形ABF是直角三角形，再結合向量條件，得出△FAO為等邊三角形，從而△AFF₁為直角三角形（F₁為橢圓的左焦點），最后在Rt△AFF₁中，利用邊之間的關系結合橢圓的定義得到a，c的關系，從而求得橢圓的離心率．

解答：解：由題意知：O是AB的中點，三角形ABF是直角三角形，
|

OA

-

OB

|=2|

OA

-

OF

|⇒|

OA

|=|

AF

|
△FAO為等邊三角形，
故△AFF₁為直角三角形（F₁為橢圓的左焦點）
在Rt△AFF₁中，AF=c，FF₁=2c，∴AF₁=

3

c
∵AF+AF₁=2a，∴c+

3

c=2a，
則橢圓的離心率為

c

a

=

2

1+ 3

=

3

-1
故選D．

點評：本題主要考查橢圓離心率的求法．在橢圓中一定要熟練掌握a，b，c之間的關系、離心率、準線方程等基本性質．