Question

函數(shù)y=

1

2

sinx（x∈R）的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再向左平移

π

2

個單位所得的曲線是y=f（x）的圖象，
（1）試求y=f（x）的周期和值域，
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增、單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）通過函數(shù)圖象的變換求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的周期的求法求y=f（x）的周期正弦函數(shù)的值域求解函數(shù)的值域，
（2）通過正弦函數(shù)的單調(diào)性直接求解求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增、單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）由題知函數(shù)y=

1

2

sinx，（x∈R）的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍得y=

1

2

sin

1

2

x，
再向左平移

π

2

個單位得函數(shù)f（x）=

1

2

sin

1

2

(x+

π

2

)，
所以y=f（x）的周期為4π，值域?yàn)閇-1，1]
（2）令-

π

2

+2kπ≤

1

2

(x+

π

2

)≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得-

3π

2

+4kπ≤x≤

π

2

+4kπ，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-

3π

2

+4kπ，

π

2

+4kπ]，k∈Z，
同理函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[

π

2

+4kπ，

5π

2

+4kπ]，k∈Z，

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的圖象的變換，解析式的求法，三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．