Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=4，D是BC的中點，E是CC₁上的點，且CE=1．
（1）求證：BE⊥平面ADB₁；
（2）求二面角B-AB₁-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，證明

BE

•

AD

=0，

BE

•

AB1

=0，即可得到結(jié)論；
（2）確定平面ADB₁的法向量、平面BAB₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B-AB₁-D的余弦值．

解答：（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，則B（2，0，0），E（0，2，1），A（0，0，0），D（1，1，0），B₁（2，0，4）
∴

BE

=（-2，2，1），

AD

=（1，1，0），

AB1

=（2，0，4）
∴

BE

•

AD

=0，

BE

•

AB1

=0
∴BE⊥AD，BE⊥AB₁
∴AD∩AB₁=A
∴BE⊥平面ADB₁；
（2）解：由（1）知，平面ADB₁的法向量為

BE

=（-2，2，1），平面BAB₁的法向量為

.

n

=（0，1，0）
∴cos＜

BE

，

.

n

＞=

BE • . n

| BE || . n |

=

2

3

∴二面角B-AB₁-D的余弦值為

2

3

．

點評：本題考查了線面垂直的證明及求二面角的余弦值，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．