Question

【題目】已知函數(shù) f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0 且 a≠1．

（1）判斷 f（x）的奇偶性并予以證明；

（2）當(dāng) a＞1 時(shí)，求使 f（x）＞0 的 x 的解集．

Answer 1

【答案】 (1)見(jiàn)解析(2) {x|0＜x＜1}．

【解析】分析：（1）先求出函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對(duì)任意，求出，由此得到函數(shù)是奇函數(shù)；

（2）由得，由此利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)能求出不等式的解集.

詳解：（1）由題知，解得：﹣1＜x＜1，

∴函數(shù) f（x）的定義域?yàn)?/span>（﹣1，1），f（x）是奇函數(shù)．

證明：∵函數(shù) f（x）的定義域?yàn)?/span>（﹣1，1），所以對(duì)任意 x∈（﹣1，1），

f（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣loga（1﹣（﹣x））=﹣[loga（x+1）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x），

所以函數(shù) f（x）是奇函數(shù)．

（2）∵a＞1，f（x）＞0，∴loga（x+1）＞loga（1﹣x），

∴，解得 0＜x＜1，

所以不等式 f（x）＞0 的解集為{x|0＜x＜1}．