Question

設(shè)函數(shù)
①當a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
②若f（x）在上是遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
③當0＜a＜2時，，求f（x）在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

解：①因為
所以f'（x）=x²-ax-（a+1）…（1分）
因為a=1，所以
所以f'（x）=x²-x-2…（2分）
令f'（x）=0得，x₁=-1，x₂=2…（3分）
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
y'	+	0	-	0	+
y	增	極大值	減	極小值	增

當x=-1時取得極大值，為；
當x=2時取得極小值，為…（5分）
②因為f（x）在上是遞增函數(shù)，
所以f'（x）≥0在上恒成立，…（6分）
即x²-ax-（a+1）≥0在上恒成立．a(chǎn)（x+1）≤x²-1
解得…（8分）
③令f'（x）=0得，x₁=-1，x₂=a+1
列表如下：

x	[1，a+1）	a+1	（a+1，4]
y'	-	0	+
y	減	極小值	增

由上表知當x=1或4時f（x）有可能取最大值，…（9分）
令解得a=-4不符合題意舍．…（10分）
令解得a=1…（11分）
因為a=1，
所以f'（x）=x²-x-2
令f'（x）=0得，x₁=-1，x₂=2…（12分）
列表如下：

x	[1，2）	2	（2，4]
y'	-	0	+
y	減	極小值	增

當x=2時取得最小值，為…（14分）
分析：①因為，所以f'（x）=x²-ax-（a+1）…（1分）因為a=1，所以f'（x）=x²-x-2．令f'（x）=0得，x₁=-1，x₂=2列表討論，能求出函數(shù)的極值．
②因為f（x）在上是遞增函數(shù)，所以x²-ax-（a+1）≥0在上恒成立．由此能求出實數(shù)a的取值范圍．
③令f'（x）=0得，x₁=-1，x₂=a+1，列表討論，能求出f（x）在區(qū)間[1，4]上的最小值．
點評：本題考查函數(shù)的極值，實數(shù)的取值范圍和函數(shù)的最小值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．