Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面AA₁B₁B為正方形，側面BB₁C₁C為菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（I）求證：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（II）求二面角B-AC-A₁的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面、面面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）通過建立空間直角坐標系，利用兩平面的法向量的夾角即可得到二面角．

解答：證明：（Ⅰ）由側面AA₁B₁B為正方形，知AB⊥BB₁．
又AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，∴AB⊥平面BB₁C₁C，
又AB?平面AA₁B₁B，∴平面AA₁B₁B⊥BB₁C₁C．
（Ⅱ）由題意，CB=CB₁，設O是BB₁的中點，連接CO，則CO⊥BB₁．
由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB₁B₁A．建立如圖所示的坐標系O-xyz．
其中O是BB₁的中點，Ox∥AB，OB₁為y軸，OC為z軸．
不妨設AB=2，則A（2，-1，0），B（0，-1，0），C（0，0，

3

），A₁（2，1，0）．

AB

=（-2，0，0），

AC

=（-2，1，

3

），

AA1

=(0，2，0)．
設

n1

=（x₁，y₁，z₁）為面ABC的法向量，則

n1

•

AB

=0，

n1

•

AC

=0，
即

-2x1=0 -2x1+y1+ 3 z1=0

取z₁=-1，得

n1

=（0，

3

，-1）．
設

n2

=（x₂，y₂，z₂）為面ACA₁的法向量，則

n2

•

AA1

=0，

n2

•

AC

=0，
即

2y2=0 -2x2+y2+ 3 z2=0

取x₂=

3

，得

n2

=（

3

，0，2）．
所以cos?n₁，n₂＞=

n1• n2

| n1 | | n2 |

=-

7

7

．
因此二面角B-AC-A₁的余弦值為-

7

7

．

點評：熟練掌握線面、面面垂直的判定定理、通過建立空間直角坐標系并利用兩平面的法向量的夾角求二面角的方法是解題的關鍵．