Question

【題目】設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知sin ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求b+c的最大值．

Answer 1

【答案】解法一：（Ⅰ）由已知有sinA，
故sinA=cosA，tanA=．
又0＜A＜π，
所以A=．…（5分）
（Ⅱ）由正弦定理得b=，c=
故b+c=(sinB+sinC)．sinB+sinC=sinB+(-B)=sinB+sincosB-cossinB=sinB+cosB
=sin(B+)．
所以b+c=4sin(B+)．
因?yàn)?/span>，所以．
∴當(dāng)B+=即B=時(shí)，sin(B+)取得最大值1，
b+c取得最大值4．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得，4=b2+c2﹣bc，
所以4=（b+c）2﹣3bc，即，
∴（b+c）2≤16，故b+c≤4．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)b=c，即△ABC為正三角形時(shí)，b+c取得最大值4．
【解析】解法一：（Ⅰ）由已知利用兩角差的正弦公式展開可求tanA，結(jié)合0＜A＜π，可求A
（Ⅱ）由正弦定理得b= ， c= ， 則有b+c=(sinB+sinC)，結(jié)合（I）中的A可得B+C，代入上式，然后結(jié)合和差角及輔助角公式可求
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，結(jié)合（I）中A可得，b，c的關(guān)系，然后利用基本不等式即可求
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用兩角和與差的余弦公式和兩角和與差的正弦公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握兩角和與差的余弦公式：；兩角和與差的正弦公式：．