Question

已知函數(shù)，

（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若在區(qū)間（）上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）時(shí)，有極小值，極小值為1.

（2）， 在上為增函數(shù)；

，時(shí)單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為

（3）＞或

【解析】

試題分析：解： （Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，  ，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061808390610916338/SYS201306180839534685220317_DA.files/image005.png">，

，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為，

故時(shí)，有極小值，極小值為1.                     3分

（Ⅱ），則

，       4分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061808390610916338/SYS201306180839534685220317_DA.files/image023.png">所以令得.

若，即，則恒成立，則在上為增函數(shù)；

若，即，則時(shí)，，時(shí)，

所以此時(shí)單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為           7分

(Ⅲ)由第（Ⅱ）問(wèn)的解答可知只需在上存在一點(diǎn)，使得.

若時(shí)，只需,解得,又,所以滿足條件. 8分

若,即時(shí)，同樣可得,不滿足條件.        9分

若，即時(shí)，在處取得最小值，        10分

令，

即，所以              11分

設(shè)，考察式子,由,所以左端大于1,而右端小于1，所以不成立.

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，只需得

＞，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061808390610916338/SYS201306180839534685220317_DA.files/image052.png">，所以，＞或         12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及極值和最值的運(yùn)用，屬于中檔題。