Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂和短軸的一個(gè)端點(diǎn)A構(gòu)成等邊三角形，點(diǎn)（

3

，

3

2

）在橢圓C上，直線l為橢圓C的左準(zhǔn)線．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為Q．是否存在點(diǎn)P，使得△F₁PQ為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)△AF₁F₂為正三角形可推斷出a和b的關(guān)系，設(shè)b²=3λ，a²=4λ，代入橢圓方程，進(jìn)而把點(diǎn)（

3

，

3

2

）代入即可求得λ，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）根據(jù)（1）可求得橢圓的離心率，進(jìn)而求得PF₁和PQ的關(guān)系，假設(shè)PF₁=F₁Q根據(jù)PF₁=

1

2

PQ推斷出PF₁+F₁Q=PQ，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，假設(shè)不成立，再看若F₁Q=PQ，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)可得，進(jìn)而表示出F₁Q和PQ求得x和y的關(guān)系，與橢圓方程聯(lián)立求得P點(diǎn)坐標(biāo)．判斷出存在點(diǎn)P（-

4

7

，±

3 15

7

），使得△PF₁Q為等腰三角

解答：解：（Ⅰ）橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知△AF₁F₂為正三角形，所以

b

a

=

3

2

，

b2

a2

=

3

4

．
設(shè)b²=3λ，a²=4λ，橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=λ．
橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

3

，

3

2

），解得λ=1，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由

PF1

PQ

=e=

1

2

，得PF₁=

1

2

PQ．所以PF₁≠PQ．
1若PF₁=F₁Q，∵PF₁=

1

2

PQ，∴PF₁+F₁Q=PQ，
與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，所以PF₁不可能與PQ相等．
②若F₁Q=PQ，設(shè)P（x，y）（x≠±2），則Q（-4，y）．
∴

32+y2

=4+x，
∴9+y²=16+8x+x²，
又由

x2

4

+

y2

3

=1，得y²=3-

3

4

x²．
∴9+3-

3

4

x²=16+8x+x²，
∴

7

4

x²+8x+4=0．
∴7x²+32x+16=0．
∴x=-

4

7

或x=-4．
因?yàn)閤∈（-2，2），所以x=-

4

7

．所以P（-

4

7

，±

3 15

7

）．
綜上，存在點(diǎn)P（-

4

7

，±

3 15

7

），使得△PF₁Q為等腰三角

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．