Question

【題目】A（1）五人站一排，必須站右邊，則不同的排法有多少種；

（2）晚會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又加了2個(gè)節(jié)目，若將這2 個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，則不同的插法有多少種．

B.有四個(gè)編有1、2、3、4的四個(gè)不同的盒子，有編有1、2、3、4的四個(gè)不同的小球，現(xiàn)把小球放入盒子里．

①小球全部放入盒子中有多少種不同的放法；

②恰有一個(gè)盒子沒放球有多少種不同的放法；

③恰有兩個(gè)盒子沒放球有多少種不同的放法．

Answer 1

【答案】A．（1）60 ；（2）30 ．B．① 256；② 144；③ 84．

【解析】

A.（1）根據(jù)題意，首先計(jì)算五人并排站成一排的情況數(shù)目，進(jìn)而分析可得，B站在A的左邊與B站在A的右邊是等可能的，計(jì)算可得答案．（2）增加兩個(gè)新節(jié)目，將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，原節(jié)目單不變，兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，可以應(yīng)用插空法來解，原來的5個(gè)節(jié)目形成6個(gè)空，新增的兩個(gè)節(jié)目插到6個(gè)空中，得到結(jié)果．B.①1號(hào)小球可放入任意一個(gè)盒子內(nèi)，有4種放法．余下的2、3、4號(hào)小球也各有4種放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．②恰有一個(gè)空盒，則這4個(gè)盒子中只有3個(gè)盒子內(nèi)有小球，且小球數(shù)只能是1、1、2．先從4個(gè)小球中任選2個(gè)放在一起，與其他兩個(gè)球看成三個(gè)元素，在三個(gè)位置排列．③恰有2個(gè)盒子內(nèi)不放球，也就是把4個(gè)小球只放入2個(gè)盒子內(nèi)，有兩類放法：一個(gè)盒子內(nèi)放1個(gè)球，另一個(gè)盒子內(nèi)放3個(gè)球；2個(gè)盒子內(nèi)各放2個(gè)小球．寫出組合數(shù)，根據(jù)分類加法得到結(jié)果．

A.（1）根據(jù)題意， 五人并排站成一排，有種情況，

而其中B站在A的左邊與B站在A的右邊是等可能的，則其情況數(shù)目是相等的，

則B站在A的右邊的情況數(shù)目為＝60，

（2）∵增加兩個(gè)新節(jié)目，將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，

且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，

∴可以應(yīng)用插空法來解，

原來的5個(gè)節(jié)目形成6個(gè)空，新增的兩個(gè)節(jié)目插到6個(gè)空中，共有＝30

B.①∵1號(hào)小球可放入任意一個(gè)盒子內(nèi)，有4種放法．

同理，2、3、4號(hào)小球也各有4種放法，

∴共有44＝256種放法．

②∵恰有一個(gè)空盒，則這4個(gè)盒子中只有3個(gè)盒子內(nèi)有小球，

且小球數(shù)只能是1、1、2．

先從4個(gè)小球中任選2個(gè)放在一起，有種方法，

然后與其余2個(gè)小球看成三組，分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子中，有種放法．

∴由分步計(jì)數(shù)原理知共有＝144種不同的放法．

③恰有2個(gè)盒子內(nèi)不放球，也就是把4個(gè)小球只放入2個(gè)盒子內(nèi)，有兩類放法：

(i).一個(gè)盒子內(nèi)放1個(gè)球，另一個(gè)盒子內(nèi)放3個(gè)球．

先把小球分為兩組，一組1個(gè)，另一組3個(gè)，有種分法，

再放到2個(gè)盒子內(nèi)，有種放法，

共有種方法；

(ii).2個(gè)盒子內(nèi)各放2個(gè)小球．先從4個(gè)盒子中選出2個(gè)盒子，有種選法，

然后把4個(gè)小球平均分成2組，每組2個(gè)，放入2個(gè)盒子內(nèi)，有種選法，

共有種方法．

∴由分類計(jì)數(shù)原理知共有＝84種不同的放法．