Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=（-2，1），k，t為正實(shí)數(shù)，

x

=

a

+(t2+1)

b

，

y

=-

1

k

a

+

1

t

b

，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k、t，使

x

∥

y

，若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：先計(jì)算出向量的坐標(biāo)，再利用向量共線的充要條件即可得出．

解答：解：∵

x

=

a

+(t2+1)

b

=（1，2）+（t²+1）（-2，1）=（-2t²-1，t²+3），

y

=-

1

k

a

+

1

t

b

=-

1

k

（1，2）+

1

t

（-2，1）
=(-

1

k

-

2

t

，

1

t

-

2

k

)
假設(shè)存在正實(shí)數(shù)k，t使

x

∥

y

，則
（-2t²-1）（-

2

k

+

1

t

）-（t²+3）（-

1

k

-

2

t

）=0，
化簡(jiǎn)得

t2+1

k

+

1

t

=0，即t³+t+k=0，
∵k，t是正實(shí)數(shù)，故滿足上式的k，t不存在，
∴不存在這樣的正實(shí)數(shù)k，t，使

x

∥

y

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量的運(yùn)算和共線的充要條件是解題的關(guān)鍵．