Question

設(shè)拋物線(xiàn)y²=4x上一點(diǎn)P到該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)與直線(xiàn)l：4x-3y+6=0的距離之和為d，若d取到最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得 d=PM+PF，d的最小值就是焦點(diǎn)F到直線(xiàn)l的距離．此時(shí)，F(xiàn)M的斜率等于-，
用點(diǎn)斜式設(shè)出FM的方程，代入拋物線(xiàn)y²=4x 求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為 x=-1．設(shè)PM是點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得
點(diǎn)P到該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)距離和點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離相等，故d=PM+PF，故當(dāng)P、F、M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，d取到最小值．
此時(shí)，F(xiàn)M的斜率等于-，故FM的方程為 y-0=- （x-1），代入拋物線(xiàn)y²=4x 求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．判斷當(dāng)P、F、M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，d取到最小值，是解題的關(guān)鍵．