Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若恒成立，證明：當(dāng)時(shí)，.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；（Ⅱ）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值等數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，突出考查分類討論思想和綜合分析問題和解決問題的能力.第一問是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，但是題中有參數(shù)，需對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，可以轉(zhuǎn)化為含參一元一次不等式的解法；第二問先是恒成立問題，通過第一問的單調(diào)性對(duì)進(jìn)行討論，通過求函數(shù)的最大值求出符合題意的，表達(dá)式確定后，再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，作差，放縮法證明不等式.

試題解析：（Ⅰ）．

若，，在上遞增；

若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．                                      5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若，在上遞增，

又，故不恒成立．

若，當(dāng)時(shí)，遞減，，不合題意．

若，當(dāng)時(shí)，遞增，，不合題意．

若，在上遞增，在上遞減，

符合題意，

故，且（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）．                    8分

當(dāng)時(shí)，

，

所以．                                           12分

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；2.恒成立問題；3.分類討論思想和放縮法的應(yīng)用.