Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-1+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過點(diǎn)M，點(diǎn)M在直線

x

m

+

y

n

=1（mn＜0）上，則該直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和的最大值為

3-2

2

．

Answer 1

分析：最值問題經(jīng)常利用均值不等式求解，適時應(yīng)用“1”的代換是解本題的關(guān)鍵．函數(shù)y=a^x-1+1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)M，知M（1，2），點(diǎn)M在直線

x

m

+

y

n

=1上，得

1

m

+

2

n

=1又mn＜0．下用1的變換構(gòu)造出可以用基本不等式來求最值．

解答：解：由已知定點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，2），由點(diǎn)M在直線

x

m

+

y

n

=1上，
∴

1

m

+

2

n

=1，
又mn＜0，
∴m+n=(

1

m

+

2

n

)（m+n）=3-[（-

n

m

）+（-

2m

n

）]≤3-2•

n m • 2m n

=3-2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

n

m

=

2m

n

時取等號．
故答案為：3-2

2

．

點(diǎn)評：當(dāng)均值不等式中等號不成立時，常利用函數(shù)單調(diào)性求最值．也可將已知條件適當(dāng)變形，再利用均值不等式，使得等號成立．均值不等式是不等式問題中的確重要公式，應(yīng)用十分廣泛．在應(yīng)用過程中，學(xué)生常忽視“等號成立條件”，特別是對“一正、二定、三相等”這一原則應(yīng)有很好的掌握．