Question

下列命題中所有假命題的序號(hào)為

②④

．
①y=sinxcosx的周期為π，最大值為

1

2

；  ②若x是第一象限的角，則y=sinx是增函數(shù)；③在△ABC中，若sinA=sinB，則A=B；  ④f（x）=sinx+cosx既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；  ⑤y=cos(2x+

π

4

)的一條對(duì)稱軸為x=-

π

8

．

Answer 1

分析：①把函數(shù)解析式利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函數(shù)的最小正周期，同時(shí)根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到函數(shù)的最大值，進(jìn)而做出判斷；
②可舉一個(gè)反例，比如390°＞30°，且兩角都為第一象限角，但是兩角的正弦值相等，故此函數(shù)在第一象限不是增函數(shù)，本選項(xiàng)為假命題；
③在△ABC中，若sinA=sinB，得到兩角相等或互補(bǔ)，但是兩角為三角形的內(nèi)角，可得兩角不可能互補(bǔ)，故兩角相等，本選項(xiàng)為真命題；
④把函數(shù)解析式利用特殊角的正弦函數(shù)及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)為奇函數(shù)可得原函數(shù)也為奇函數(shù)，故本選項(xiàng)為假命題；
⑤根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性，令角度為kπ，求出x的值即為函數(shù)的對(duì)稱軸，即可作出判斷．

解答：解：①y=sinxcosx=

1

2

sin2x，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
又sin2x∈[-1，1]，
∴函數(shù)的最大值為

1

2

，本選項(xiàng)為真命題；
②由于390°＞30°，且都是第一象限角，sin390°=sin30°=

1

2

，
故函數(shù)y=sinx在第一象限不是增函數(shù)，本選項(xiàng)為假命題；
③在△ABC中，若sinA=sinB，得到A=B或A+B=π（舍去），
∴A=B，本選項(xiàng)為真命題；
④f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∵正弦函數(shù)sin（x+

π

4

）為奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=sinx+cosx為奇函數(shù)，本選項(xiàng)為假命題；
⑤y=cos(2x+

π

4

)，
令2x+

π

4

=kπ，解得x=

kπ

2

-

π

8

，
當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-

π

8

，
∴函數(shù)的一條對(duì)稱軸為x=-

π

8

，本選項(xiàng)為真命題，
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，正弦函數(shù)的奇偶性，以及余弦函數(shù)的對(duì)稱性，熟練掌握正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．