Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,點(diǎn)(a_n,S_n)在直線y=x-1上.

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式.

(2)在a_n與a_n+1之間插入n個(gè)數(shù),使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列,求數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n.

Answer 1

 (1)由題設(shè)知,

S_n=a_n-1得S_n-1=a_n-1-1(n∈N^*,n≥2),

兩式相減得:a_n=(a_n-a_n-1),

即a_n=3a_n-1(n∈N^*,n≥2),

又S₁=a₁-1,得a₁=2,

所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列,

所以a_n=2·3^n-1.

(2)由(1)知a_n+1=2·3ⁿ,a_n=2·3^n-1,

因?yàn)閍_n+1=a_n+(n+1)d_n,

所以d_n=,

所以=.

T_n=+++…+,

則T_n=+++…+①,

T_n=++…++②,

①—②得T_n=+++…+-

=+×-=-,

所以T_n=-.