Question

（2009•江西）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中點(diǎn)O為球心、AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N
（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直線CD與平面ACM所成的角的大�。�
（3）求點(diǎn)N到平面ACM的距離．

Answer 1

分析：法一：（1）要證平面ABM⊥平面PCD，只需證明平面PCD內(nèi)的直線PD，垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線BM、AB即可；
（ 2）先根據(jù)體積相等求出D到平面ACM的距離為h，即可求直線PC與平面ABM所成的角；
（3）先根據(jù)條件分析出所求距離等于點(diǎn)P到平面ACM距離的

5

9

，設(shè)點(diǎn)P到平面ACM距離為h，再利用第二問(wèn)的結(jié)論即可得到答案．
法二：建立空間直角坐標(biāo)系，
（ 2）求出平面ACM的一個(gè)法向量

n

=(x，y，z)，結(jié)合

CD

然后求出sinα=|

CD • n

| CD || n |

|=

6

3

即可．
（3）先根據(jù)條件分析出所求距離等于點(diǎn)P到平面ACM距離的

5

9

，再利用向量的射影公式直接求點(diǎn)P到平面ACM距離h即可得到結(jié)論．

解答：解：
方法一：（1）圖1依題設(shè)知，AC是所作球面的直徑，則AM⊥MC．
又因?yàn)镻 A⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，則CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD．
（2）由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，則M是PD的中點(diǎn)可得AM=2

2

，MC=

MD2+CD2

=2

3

則S△ACM

1

2

AM•MC=2

6

設(shè)D到平面ACM的距離為h，由V_D-ACM=V_M-ACD即2

6

h=8，
可求得h=

2 6

3

，
設(shè)所求角為θ，則sinθ=

h

CD

=

6

3

，θ=arcsin

6

3

．
（3）可求得PC=6．因?yàn)锳N⊥NC，由

PN

PA

=

PA

PC

（7），得PN=

8

3

（8）．所以NC：PC=5：9（9）．
故N點(diǎn)到平面ACM的距離等于P點(diǎn)到平面ACM距離的

5

9

．
又因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，則P、D到平面ACM的距離相等，由（2）可知所求距離為

5

9

h=

10 6

27

．
方法二：
（1）同方法一；
（2）如圖2所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；
設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量

n

=(x，y，z)，由

n

⊥

AC

，

n

⊥

AM

可得：

2x+4y=0 2y+2z=0

，令z=1，則

n

=(2，-1，1)．
設(shè)所求角為α，則sinα=|

CD • n

| CD || n |

|=

6

3

，
所以所求角的大小為arcsin

6

3

．
（3）由條件可得，AN⊥NC．在Rt△PAC中，PA²=PN•PC，所以PN=

8

3

，則NC=PC-PN=

10

3

，

NC

PC

=

5

9

，
所以所求距離等于點(diǎn)P到平面ACM距離的

5

9

，設(shè)點(diǎn)P到平面ACM距離為h
則h=|

AP • n

| n |

|=

2 6

3

，
所以所求距離為

5

9

h=

10 6

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成的角，平面與平面垂直的判定，三垂線定理，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計(jì)算能力，是中檔題．再用空間向量求線面角時(shí)，關(guān)鍵是求出平面的法向量以及直線的方向向量．