Question

（2013•和平區(qū)二模）如圖，AB、CD是圓O的兩條平行弦，AF∥BD交CD于點E，交圓為O于點F，過B點的切線交CD的延長線于點P，若PD=CE=1，PB=

5

，則BD的長為

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)切割線定理PB²=PD×PC，算出CD=4，得PC=5，ED=CD-CE=3．由△BPD∽△CPB得

BD

CB

=

PB

CP

=

5

5

，設(shè)BD=x得CB=

5

x．設(shè)AF、BC的交點為G，利用平等線分線段成比例結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，算出GE=

1

4

x、CG=

5

4

x、BG=

3 5

4

x且AG=

3

4

x．然后利用相交弦定理AG•GF=CG•BG，算出GF=

5

4

x，從而EF=GF-GE=x．最后根據(jù)AE•EF=CE•ED，即可算出BD的長．

解答：解：∵直線PB切圓O于點B，PDC是圓O的割線
∴PB²=PD×PC，得（

5

）²=1×（1+CD），
解得CD=4，得PC=5，ED=CD-CE=3
∵∠PBD=∠PCB，∠BPD=∠CPB
∴△BPD∽△CPB，可得

BD

CB

=

PB

CP

=

5

5

設(shè)BD=x，則CB=

5

x，設(shè)AF、BC的交點為G
∵AE∥BD，得

GE

BD

=

CE

CD

=

1

4

，
∴GE=

1

4

BD=

1

4

x；CG=

1

4

CB=

5

4

x，BG=

3 5

4

x，
平等四邊形ABDE中，AE=BD=x，得AG=AE-GE=

3

4

x
由相交弦定理，得AG•GF=CG•BG，即

3

4

x•GF=

5

4

x•

3 5

4

x
解得GF=

5

4

x，可得EF=GF-GE=

5

4

x-

1

4

x=x
又∵AE•EF=CE•ED，AE=EF=x，CE=1且ED=3
∴x²=1×3=3，解之得x=

3

，即BD的長為

3

故答案為：

3

點評：本題給出圓內(nèi)的平行線和圓的切線，在已知切線PB長的情況下求線段BD的長．著重考查了圓當(dāng)中的比例線段、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．