Question

已知△ABC的三邊a，b，c成等比數(shù)列，且，．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將已知第二個(gè)等式利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦后，通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，再由a，b，c成等比數(shù)列，得b²=ac，利用正弦定理得到一個(gè)關(guān)系式，代入化簡(jiǎn)得到的式子中，求出sinB的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cosB的值；
（Ⅱ）利用余弦定理列出關(guān)系式，根據(jù)完全平方公式變形后，將a+c的值代入求出ac的值，由ac及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
解答：解：（Ⅰ）由+=+==，
∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，
∴由正弦定理得：sin²B=sinAsinC，
在△ABC中有sin（A+C）=sinB，
∴===，即sinB=，
由b²=ac知，b不是最大邊，
則cosB==；
（Ⅱ）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB及b²=ac得：ac=a²+c²-2ac•=（a+c）²-ac，
解得：ac=5，
則S_△ABC=acsinB=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，等比數(shù)列的性質(zhì)，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵．