Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的離心率為

2

2

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左右焦點，且F₂到橢圓C的右準線l的距離為1，點P為l上的動點，直線PF₂交橢圓C于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△F₁AB的面積S的取值范圍；
（Ⅲ）設

AF2

=λ

F2B

，

AP

=μ

PB

，求證λ+μ為定值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)離心率求得a和c的關系，進而根據(jù)F₂到橢圓C的右準線l的距離為1和a²=b²+c²求得a和b，橢圓的方程可得．
（2）可設動點P的坐標為（2，m），求得焦點坐標，進而可得直線PF₂的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），根據(jù)偉大定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而表示出|AB|和點F₁到直線PF₂的距離，進而可得△F₁AB的面積S的表達式，根據(jù)m確定S的取值范圍．
（3）根據(jù)

AF2

=λ

F2B

，

AP

=μ

PB

，可求得λ和μ的表達式，進而把x₁+x₂和x₁x₂代入λ+μ中求得λ+μ=0，原式得證．

解答：解：
（Ⅰ）由題意得

c a = 2 2 a2=b2+c2 a2 c -c=1

，
解得a=

2

，b=1，c=1，
所以橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）因為右準線l的方程為x=

a2

c

=2，
所以可設動點P的坐標為（2，m），由（Ⅰ）知焦點F₁，F(xiàn)₂的坐標分別（-1，0），（1，0），
所以直線PF₂的方程為y=m（x-1）．
設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由

y=m(x-1) x2 2 +y2=1

得（1+2m²）x²-4m²x+2m²-2=0，
于是x1+x2=

4m2

1+2m2

，x1x2=

2m2-2

1+2m2

．
所以|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2 2 (1+m2)

1+2m2

．
點F₁到直線PF₂的距離d=

2|m|

1+m2

，
所以△F₁AB的面積S=

1

2

|AB|d=

2 2 |m| 1+m2

1+2m2

，S2=

8m2(1+m2)

(1+2m2)2

=

2(1+2m2)2-2

(1+2m2)2

=2-

2

(1+2m2)2

，
由題知m∈R且m≠0，于是0＜S＜

2

，
故△F₁AB的面積S的取值范圍是(0，

2

)．

（Ⅲ）由（Ⅱ）及

AF2

=λ

F2B

，

AP

=μ

PB

，得（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），（2-x₁，m-y₁）=μ（x₂-2，y₂-m），
于是λ=

1-x1

x2-1

，μ=

2-x1

x2-2

，
所以λ+μ=

1-x1

x2-1

+

2-x1

x2-2

=

3(x1+x2)-2x1x2-4

(x2-1)(x2-2)

．
因為3(x1+x2)-2x1x2-4=

12m2

1+2m2

-

4m2-4

1+2m2

-4=0，
所以λ+μ=0，即λ+μ為定值0．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程．當涉及直線與圓錐曲線的關系時，常需要把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，根據(jù)偉大定理找到解決問題的途徑．