Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量

a

=(mx，2(y-2))，

b

=(x，y+2)（m∈R），且滿足

a

⊥

b

，動點M（x，y）的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程，并說明該方程所表示的軌跡的形狀；
（Ⅱ）若已知圓O：x²+y²=1，當(dāng)m=1時，過點M作圓O的切線，切點為A、B，求向量

OA

•

OB

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，有M（x，y），欲求點M的軌跡C的方程，即尋找x，y之間的關(guān)系式，根據(jù)向量垂直利用向量間的關(guān)系求出M點的坐標(biāo)的方程即可得；
（Ⅱ）欲向量

OA

•

OB

的最大值和最小值，先求出向量

OA

•

OB

用點M的坐標(biāo)表示的函數(shù)式，后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可求得．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=mx2+2(y2-4)=0，
即mx²+2y²=8，（2分）
當(dāng)m=0時，2y²=8，解得y=±2，表示兩條與x軸平行的直線，
當(dāng)m＜0時，

y2

4

-

-mx2

8

=1，表示中心在坐標(biāo)原點焦點在y軸上的雙曲線，
當(dāng)m=2時，x²+y²=4，表示以原點為圓心，半徑為2的圓，
當(dāng)m＞2時，

y2

4

+

mx2

8

=1，表示中心在坐標(biāo)原點焦點在y軸上的橢圓，
當(dāng)0＜m＜2時，

mx2

8

+

y2

4

=1表示中心在坐標(biāo)原點焦點在x軸上的橢圓．（7分）（少一個扣一分）
（Ⅱ）當(dāng)m=1時，曲線C的方程為：

x2

8

+

y2

4

=1，
設(shè)∠AOB=2α，則

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|cos2α=cos2α=2cos2α-1，（8分）
∵M(jìn)A與圓O相切于A，
∴在Rt△MAO中，cosα=

1

|MO|

，
即

OA

•

OB

=2cos2α-1=

2

MO2

-1=

2

x2+y2

-1，（10分）
由

x2

8

+

y2

4

=1，得x²=8-2y²，
∴

OA

•

OB

=

2

8-y2

-1，
∵0≤y²≤4，
∴當(dāng)y²=0時，

OA

•

OB

取得最小值為-

3

4

，
當(dāng)y²=4時，

OA

•

OB

取得最大值為-

1

2

．（12分）

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題．求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系．