Question

【題目】設(shè)函數(shù).已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（3）若對于任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時，函數(shù)有一個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)在上有無極值點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)有唯一的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)；（3）.

【解析】

試題（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率，利用兩直線垂直時斜率間的關(guān)系即可求得的值；（2）因為，其極值點(diǎn)就是在上的變號零點(diǎn)的個數(shù)，通過討論對稱軸的位置和判別式的符合得其單調(diào)性，找到函數(shù)的極值點(diǎn)情況；（3）要使總存在，使得成立，即總存在，使得成立，構(gòu)造函數(shù)，，則總存在，使得成立，所以即，利用導(dǎo)數(shù)研究含的單調(diào)性，求出最大值和最小值即得的范圍.

試題解析：（1），

所以，所以，

（2），其定義域為，

，

令，

①當(dāng)時，，有，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間無極值點(diǎn)；

②當(dāng)時，，令，有，

當(dāng)時，，即，得在上遞減；

當(dāng)時，，即，得在上遞增；

當(dāng)時，，即，得在上遞減；

此時有一個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn).

③當(dāng)時，，

令，有，

當(dāng)時，，即，得在上遞增；

當(dāng)時，，即，得在上遞減.

此時唯一的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)，

綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)有一個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn).

當(dāng)時，函數(shù)在上有無極值點(diǎn)；

當(dāng)時，函數(shù)有唯一的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)

（3）令，，

則，

若總存在，使得成立，

即總存在，使得成立，

即總存在，使得成立，

即，

，因為，所以，即在上單調(diào)遞增，

所以，

即對任意成立，

即對任意成立，

構(gòu)造函數(shù)：，，

，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，∴.

∴對于任意，∴.

所以