Question

已知△ABC的內(nèi)角A、B的對(duì)邊分別為a、b，A=45°，cosC=

3

5

．
（Ⅰ）求sinB；  
 （Ⅱ）若a+b=12，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由C為三角形的內(nèi)角及cosC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，由誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和定理得到sinB=sin（A+C），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入即可求出sinB的值；
（Ⅱ）由sinA和sinB的值，利用正弦定理得出a與b的關(guān)系式7a=5b，與已知的a+b=12聯(lián)立求出a與b的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵在△ABC中，cosC=

3

5

，
∴sinC=

1-cos2C

=

4

5

，
∵B=180°-（A+C），A=45°，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

2

2

×

3

5

+

2

2

×

4

5

=

7 2

10

；…（6分）
（Ⅱ）∵sinA=

2

2

，sinB=

7 2

10

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：

a

b

=

sinA

sinB

=

2 2

7 2 10

=

5

7

，即7a=5b①，
又a+b=12②，
聯(lián)立①②解得：a=5，b=7，
則S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×5×7×

4

5

=14．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．