【題目】已知橢圓E： 
=1（a＞b＞0）的離心率為 
，右焦點為F，橢圓與y軸的正半軸交于點B，且|BF|= 
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若斜率為1的直線l經過點（1，0），與橢圓E相交于不同的兩點M，N，在橢圓E上是否存在點P，使得△PMN的面積為 
，請說明理由．
【答案】
（1）解：由題意， 
，得c=1，∴b2=a2﹣c2=1．
則橢圓E的方程為： 
（2）解：存在．
設點P（x，y），直線l的方程為y=x﹣1．
由 
，得M（0，﹣1），N（ 
），
則|MN|= 
．
則點P到直線l的距離為 
．
設過點P與直線l平行的直線l1：y=x+m．
聯(lián)立 
，得3x2+4mx+2m2﹣2=0．
由△=16m2﹣12（2m2﹣2）=0，解得m= 
．
當m= 
時，l與l1之間的距離為 
＞1；
當m=﹣ 時，l與l1之間的距離為 
＜1．
則在橢圓E上存在點P，使得△PMN的面積為 
【解析】（1）由題意求得a，c的值，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）設出P點坐標及直線l的方程，由△PMN的面積為 求得點P到直線l的距離為1，再設出過點P與直線l平行的直線l1：y=x+m．與橢圓方程聯(lián)立，由判別式等于0求得m值，再結合兩平行線間的距離公式求出l與l1之間的距離，與1比較得答案．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了了解學生遵守《中華人民共和國交通安全法》的情況，調查部門在某學校進行了如下的隨機調查：向被調查者提出兩個問題：（1）你的學號是奇數嗎？（2）在過路口的時候你是否闖過紅燈？要求被調查者背對調查人拋擲一枚硬幣，如果出現正面，就回答第（1）個問題；否則就回答第（2）個問題．被調查者不必告訴調查人員自己回答的是哪一個問題，只需要回答“是”或“不是”，因為只有被調查本人知道回答了哪個問題，所以都如實做了回答．如果被調查的600人（學號從1到600）中有180人回答了“是”，由此可以估計在這600人中闖過紅燈的人數是 ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖在四面體OABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，且OB=OC=3，OA=4，給出如下判斷： ①存在點D（O點除外），使得四面體DABC有三個面是直角三角形；
②存在點D，使得點O在四面體DABC外接球的球面上；
③存在唯一的點D使得OD⊥平面ABC；
④存在點D，使得四面體DABC是正棱錐；
⑤存在無數個點D，使得AD與BC垂直且相等．
其中正確命題的序號是（把你認為正確命題的序號填上）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為 
，短軸長為4 
． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）直線x=2與橢圓C交于P、Q兩點，A、B是橢圓O上位于直線PQ兩側的動點，且直線AB的斜率為 ．
①求四邊形APBQ面積的最大值；
②設直線PA的斜率為k1 ， 直線PB的斜率為k2 ， 判斷k1+k2的值是否為常數，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點A1在平面ABC內的射影O為AC的中點，A1O=2，AB⊥BC，AB=BC= 
點P在線段A1B上，且cos∠PAO= 
，則直線AP與平面A1AC所成角的正弦值為 ． 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知 
=（2cosx，sinx﹣cosx）， 
=（ 
sinx，sinx+cosx），記函數f（x）= ． （Ⅰ）求f（x）的表達式，以及f（x）取最大值時x的取值集合；
（Ⅱ）設△ABC三內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，若a+b=2 ，c= 
，f（C）=2，求△ABC的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知m，n，s，t∈R+ ， m+n=2， 
+ 
=9，其中m，n是常數，當s+t取最小值 
時，m，n對應的點（m，n）是橢圓 
=1的一條弦的中點，則此弦所在的直線方程 ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知命題p：k2﹣8k﹣20≤0，命題q：方程 
=1表示焦點在x軸上的雙曲線． （Ⅰ）命題q為真命題，求實數k的取值范圍；
（Ⅱ）若命題“p∨q”為真，命題“p∧q”為假，求實數k的取值范圍．
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