Question

(1)用二項式定理證明11¹⁰-1能被100整除.

(2)求91⁹²被100除所得的余數(shù).

Answer 1

思路分析:解決利用二項式定理證明整除問題關(guān)鍵是判斷所證式子與除數(shù)之間的聯(lián)系，要掌握好對式子的拆分，如本例的第（1）小題，可以利用11¹⁰=（10+1）¹⁰展開式進(jìn)行證明，第（2）小題則可利用91⁹²=(100-9)⁹²展開式,或利用(90+1)⁹²展開式進(jìn)行求解.

（1）證明：∵11¹⁰-1=(10+1)¹⁰-1=(10¹⁰+·10⁹+…+·10+1)-1

=10¹⁰+·10⁹+·10⁸+…+10²

=100(10⁸+·10⁷+·10⁶+…+1).

∴11¹⁰-1能被100整除.

(2)解法一：(100-9)⁹²=·100⁹²-·100⁹¹·9+·100⁹⁰·9²-…+9⁹²,

展開式中前92項均能被100整除，只需求最后一項除以100的余數(shù).

∵9⁹²=(10-1)⁹²=·10⁹²-·10⁹¹+…+·10²-·10+1,

前91項均能被100整除,后兩項和為-919,因余數(shù)為正,可從前面的數(shù)中分離出1 000,結(jié)果為1 000-919=81,

故91⁹²被100除可得余數(shù)為81.

解法二:(90+1)⁹²=·90⁹²+·90⁹¹+…+·90²+·90+.

前91項均能被100整除,剩下兩項和為92×90+1=8 281,顯然8 281除以100所得余數(shù)為81.

綠色通道：利用二項式定理可以求余數(shù)和整除性問題,通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式,且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.

黑色陷阱：出現(xiàn)余數(shù)為負(fù)數(shù)的情況.余數(shù)不可能為負(fù),如本題中余數(shù)的范圍是(0,100).