Question

如圖，點P(0，－1)是橢圓C₁：＝1(a>b>0)的一個頂點，C₁的長軸是圓C₂：x²＋y²＝4的直徑．l₁，l₂是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l₁交圓C₂于A，B兩點，l₂交橢圓C₁于另一點D.

(1)求橢圓C₁的方程；
(2)求△ABD面積取最大值時直線l₁的方程．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）y＝±x－1.

(1)由題意得所以橢圓C₁的方程為＋y²＝1.
(2)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，D(x₀，y₀)．
由題意知直線l₁的斜率存在，不妨設其為k，
則直線l₁的方程為y＝kx－1.又圓C₂：x²＋y²＝4，
故點O到直線l₁的距離d＝，所以|AB|＝2 ＝2 .
又l₂⊥l₁，故直線l₂的方程為x＋ky＋k＝0.由
消去y，整理得(4＋k²)x²＋8kx＝0，
故x₀＝－.所以|PD|＝.
設△ABD的面積為S，則S＝|AB|·|PD|＝，
所以S＝≤，
當且僅當k＝±時取等號．所以所求直線l₁的方程為y＝±x－1.