Question

在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，三角形AOB是腰長為2的等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)O位于直線AB的兩側(cè)，且∠APB=

3

4

π．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)P作PH⊥OA交OA于H，求△OHP得周長的最大值及此時(shí)P點(diǎn)得坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）在等腰直角三角形AOB中，利用正弦定理求出點(diǎn)P在以AB為弦，半徑為2的圓弧上，點(diǎn)P位于直線AB的兩側(cè)，因此點(diǎn)P的軌跡方程是以O(shè)為圓心，半徑為2，夾在∠AOB內(nèi)的圓弧（端點(diǎn)除外），從而求出點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)P（2cosα，2sinα）（α∈（0，

π

2

））則△OHP的周長l=2+2cosα+2sinα，然后利用輔助角公式進(jìn)行化簡變形即可求出最大值，以及取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）在等腰直角三角形AOB中，AB=2

2

因?yàn)?span id="tls3khn" class="MathJye">

AB

sin 3π 4

=

2 2

2 2

=4
因此，點(diǎn)P在以AB為弦，半徑為2的圓弧上．
又因OA=OB=2，點(diǎn)P位于直線AB的兩側(cè)，因此點(diǎn)P的軌跡方程是以O(shè)為圓心，半徑為2，夾在∠AOB內(nèi)的圓�。ǘ它c(diǎn)除外）
所以點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=4（x＞0，且y＞0）
（2）設(shè)P（2cosα，2sinα）（α∈（0，

π

2

））則
△OHP的周長l=2+2cosα+2sinα
=2+2

2

sin（α+

π

4

）
所以，當(dāng)α=

π

4

時(shí)，△OHP的周長l取最大值2+2

2

，此時(shí)P（

2

，

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線和圓的方程的應(yīng)用，以及軌跡方程，同時(shí)考查了輔助角公式，同時(shí)考查了計(jì)算求解的能力，屬于難題．