Question

已知函數(shù)f（x）=（

1

3

）^x，x∈[-1，1]，函數(shù)g（x）=f²（x）-2af（x）+3的最小值為h（a），求h（a）．

Answer 1

分析：令t=（

1

3

）^x，x∈[-1，1]，則函數(shù)g（x）=f²（x）-2af（x）+3可化為φ（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，t∈[

1

3

，3]，對a值進(jìn)行分類討論，即可得到h（a）的表達(dá)式．

解答：解：∵x∈[-1，1]，
∴（

1

3

）^x∈[

1

3

，3]．
設(shè)t=（

1

3

）^x，t∈[

1

3

，3]．     
則當(dāng)a＜

1

3

時，g（x）_min=h（a）=φ（

1

3

）=

28

9

-

2a

3

；
當(dāng)

1

3

≤a≤3時，g（x）_min=h（a）=φ（a）=3-a²；
當(dāng)a＞3時，g（x）_min=h（a）=φ（3）=12-6a．
∴h（a）=

28 9 - 2a 3   (a＜ 1 3 )  3-a2   ( 1 3 ≤a≤3) 12-6a   (a＞3)

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，分段函數(shù)解析式的求法，其中利用換元法，將問題中的函數(shù)類型轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．