Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最值；

（2）函數(shù)圖像在點(diǎn)處的切線斜率為有兩個零點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，得導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，根據(jù)a的正負(fù)討論導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定單調(diào)性，進(jìn)而確定最值取法，（2）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義確定a的值，再根據(jù)零點(diǎn)條件列等量關(guān)系： ，根據(jù)目標(biāo)不等式構(gòu)造 ，最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 最值可證不等式

試題解析：（1），

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有最小值，無最大值；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有最大值，無最小值.

（2）依題知，即，所以，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>是的兩個零點(diǎn)，必然一個小于，一個大于，不妨設(shè).

因?yàn)?/span>，

所以，

變形為.

欲證，只需證，

即證.

令，則只需證對任意的都成立.

令，則

所以在上單增，

即對任意的都成立.

所以.