Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n與通項(xiàng)a_n滿足S_n=-a_n.
(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)f(x)=log₃x,b_n=f(a₁)+f(a₂)+…+f(a_n),T_n=++…+,求T₂₀₁₂;
(3)若c_n=a_n·f(a_n),求{c_n}的前n項(xiàng)和U_n.

Answer 1

(1) a_n=ⁿ    (2)     (3) U_n=-+·ⁿ+n·ⁿ⁺¹

解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a₁=,
當(dāng)n≥2時(shí),a_n=S_n-S_n-1=-a_n-+a_n-1,
所以a_n=a_n-1,
即數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
故a_n=ⁿ.
(2)由已知可得f(a_n)=log₃ⁿ=-n.
則b_n=-1-2-3-…-n=-,
故=-2(-),
又T_n=-2[(1-)+(-)+…+(-)]
=-2(1-),
所以T₂₀₁₂=-.
(3)由題意得c_n=-n·ⁿ,
故U_n=c₁+c₂+…+c_n
=-[1×¹+2ײ+…+n×ⁿ],
則U_n=-[1ײ+2׳+…+n×ⁿ⁺¹],
兩式相減可得
U_n=-[¹+²+…+ⁿ-n·ⁿ⁺¹]
=-[1-ⁿ]+n·ⁿ⁺¹
=-+·ⁿ+n·ⁿ⁺¹,
則U_n=-+·ⁿ+n·ⁿ⁺¹.