Question

已知A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=2，向量

m

=(1，-

3

)，

n

=(cosA，sinA)，且

m

•

n

=-1．
（1）求角A
（2）若

AB

•

AC

=2，求b，c．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量數(shù)量積的運算法則化簡

m

•

n

=-1，得到關(guān)于cosA和sinA的關(guān)系式，利用同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系化簡可得sinA的值，根據(jù)A的范圍及特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）利用平面向量數(shù)量積的運算法則化簡

AB

•

AC

=2，得到bc=4記作①，然后利用余弦定理表示出a²的關(guān)系式，把a的值代入即可得到b²+c²=8記作②，聯(lián)立①②即可求出b和c的值．

解答：解：（1）由

m

•

n

=cosA-

3

sinA=-1，得到cosA=

3

sinA-1，代入sin²A+cos²A=1中得：
sin²A+(

3

sinA-1)2=1，化簡得：sinA（2sinA-

3

）=0，因為sinA≠0，所以2sinA-

3

=0即sinA=

3

2

因為A∈（0，180°），所以A=60°或120°；
（2）由

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA=bccosA=2，因為cosA=

1

2

（cosA=-

1

2

舍去），則bc=4①，
而a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-4=4，所以b²+c²=8②，聯(lián)立①②，解得b=2，c=2．

點評：此題考查學(xué)生靈活運用平面向量數(shù)量積的運算法則化簡求值，利用運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及余弦定理化簡求值，是一道綜合題．學(xué)生做題時應(yīng)注意角度的范圍，以及理解cosA=-

1

2

舍去的原因是bc＞0．