Question

【題目】已知函數，且直線是函數的一條切線.

（1）求的值；

（2）對任意的，都存在，使得，求的取值范圍；

（3）已知方程有兩個根，若，求證: .

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3) 詳見解析.

【解析】試題分析：（1）對函數求導， ，設直線與函數相切與點，根據導數的幾何意義可得， ，解得，求出；（2）對任意的 ，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用導數的方法分別求、的值域，即可求出的取值范圍；（3）根據題意得,兩式相減得， ，所以，令，則，則，令，對求導，判斷的單調，證明.

試題解析：(1)設直線與相切于點，依題意得，解得，所以，經檢驗： 符合題意.

(2) 由（1）得，所以，當， 時， ，所以在上單調遞減，所以當， 時， ， ，當時， ，所以在上單調遞增，所以當時， ，依題意得 ，所以，解得.

(3) 依題意得,兩式相減得，所以，方程可轉化為，即，令，則，則，令，因為，所以在上單調遞增，所以，所以，即.