Question

已知銳角α、β、γ滿足：cos²α+cos²β+cos²γ=1，則tanαtanβtanγ的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由cos²α+cos²β+cos²γ=1想到一個(gè)數(shù)學(xué)模型即三個(gè)角可看作是長(zhǎng)方體的對(duì)角線與過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的所成的角，設(shè)出長(zhǎng)方體的三條棱，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義表示出tanαtanβtanγ，利用基本不等式可求出最小值．

解答：解：由cos²α+cos²β+cos²γ=1聯(lián)想到銳角α、β、γ是長(zhǎng)方體的對(duì)角線與過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成角，
記該長(zhǎng)方體過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a、b、c，
則tanαtanβtanγ=

b2+c2

a

•

a2+c2

b

•

a2+b2

c

≥

2bc

a

•

2ac

b

•

2ab

c

=2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立．
所以tanαtanβtanγ的最小值為2

2

．
故答案為2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型即長(zhǎng)方體的對(duì)角線與棱所成的角來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)要會(huì)用基本不等式求最值，學(xué)生在做題時(shí)，能否想到這個(gè)數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵也是一個(gè)難點(diǎn)．