Question

【題目】已知函數(shù)（其中）

(Ⅰ) 若在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，求的取值范圍；

(Ⅱ) 是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，如果存在，求的取值范圍，如果不存在，說明理由（其中是自然對數(shù)的底數(shù)，＝2.71828…）.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) .

【解析】

試題分析：(Ⅰ)首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后分、討論函數(shù)的單調(diào)性，由此求得的取值范圍；(Ⅱ) 首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后分、討論函數(shù)的單調(diào)性并求得其極值，然后根據(jù)各段函數(shù)的最值求得的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ) 由于，其中，，

只需在時(shí)恒成立，

①當(dāng)時(shí)，，于是在為減函數(shù)，

②當(dāng)時(shí)，由在時(shí)恒成立，即在恒成立，

可知當(dāng)時(shí)，，

由得，這與不符，舍去.

綜上所述，的取值范圍是.

(Ⅱ) .

(ⅰ) 當(dāng)時(shí)，，于是在為減函數(shù)，則在也為減函數(shù)，

知恒成立，不合題意，舍去

(ⅱ) 當(dāng)時(shí)，由得.列表得

x	(0，)		(，)
	＋	0	－
	↗	極大值	↘

①若，即，此時(shí)在上單調(diào)遞減，

知，而，

于是恒成立，不合題意，舍去.

②若，即時(shí)，

此時(shí)在(，上為增函數(shù)，在(,)上為減函數(shù)，

要使在恒有恒成立，則必有

則所以

由于，則，所以.

綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得恒成立