Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求證：對，函數(shù)與存在相同的增區(qū)間；

（2）若對任意的， ，都有成立，求正整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)4

【解析】試題分析： 對求導(dǎo)，求出函數(shù)的增區(qū)間，對求導(dǎo)，討論當時、當時兩種情況的增區(qū)間，得證(2)構(gòu)造 ，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次不等式，結(jié)合題意化簡得，然后求導(dǎo)解不等式

解析：（1），所以在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

由 ，

當時， 恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以命題成立，

當時， 在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

設(shè)得，令得，

在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，且，所以，

同理，所以，所以與存在相同的增區(qū)間.

綜上：命題成立.

（2）證明：對任意的， ，都有，

則 ，

則 ，所以 ，

則，由（1）可知，所以有： 恒成立.

設(shè)，則，且，

由， ，

所以在上有唯一實數(shù)根，且，

當時為減函數(shù)，當時為增函數(shù)，

所以， ， ，所以，

且是正整數(shù)，所以，所以的最大值為4.