Question

如圖，已知橢圓C₁的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上．橢圓C₂的短軸為MN，且C₁，C₂的離心率都為e．直線l⊥MN．l與C₁交于兩點，與C₂交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A、B、C、D．
（Ⅰ）e=

1

2

，求|BC|與|AD|的比值；
（Ⅱ）當e變化時，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用離心率相同，把兩橢圓方程設出來，與直線l聯(lián)立求出A、B的坐標，再利用橢圓圖象的對稱性求出|BC|與|AD|的長，即可求|BC|與|AD|的比值；
（Ⅱ）BD∥AN，即是BO的斜率k_BO與AN的斜率k_AN相等，利用斜率相等得到關于t和a以及e的等式，再利用|t|＜a和0＜e＜1就可求出何時BD∥AN．

解答：解：（I）因為C₁，C₂的離心率相同，
故依題意可設C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1，C2：

b2y2

a4

+

x2

a2

=1，(a＞b＞0)
設直線l：x=t（|t|＜a），分別與C₁，C₂的方程聯(lián)立，
求得A(t，

a

b

a2-t2

)，B(t，

b

a

a2-t2

)（4分）
當e=

1

2

，b=

3

2

a，分別用y_A，y_B表示的A，B的縱坐標，
可知|BC|：|AD|=

2|yB|

2|yA|

=

b2

a2

=

3

4

（6分）
（Ⅱ）t=0時的l不符合題意，t≠0時，
BO∥AN當且僅當BO的斜率k_BO與AN的斜率k_AN相等，
即

b a a2-t2

t

=

a b a2-t2

t-a

，
解t=-

ab2

a2-b2

=-

1-e2

e2

•a；
因為|t|＜a，又0＜e＜1，所以-1＜-

1-e2

e2

＜1，解得

2

2

＜e＜1
所以當0＜e≤

2

2

時，不存在直線l，使得BO∥AN；
當

2

2

＜e＜1時，存在直線l，使得BO∥AN．

點評：本題考查橢圓的有關知識．在第一問設方程時，充分利用離心率相同，把兩橢圓方程用同兩個變量設出來，減少了變量的引入，把問題變的簡單化．