Question

有冪函數(shù)y＝(α≠0)若干個(gè)，每個(gè)函數(shù)至少具有下面三條性質(zhì)之一：

(1)是奇函數(shù)；

(2)是(－∞，＋∞)內(nèi)的增函數(shù)；

(3)函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)．

又已知同時(shí)具有性質(zhì)(1)的共有15個(gè)，具有性質(zhì)(2)的共有12個(gè)，具有性質(zhì)(3)的共有18個(gè)，試問，這些冪函數(shù)共有幾個(gè)？其中冪指數(shù)小于零的有幾個(gè)？

Answer 1

答案：
解析：

解：由冪函數(shù)的性質(zhì)知，在(－∞，＋∞)內(nèi)的增函數(shù)一定是奇函數(shù)，且圖象一定過原點(diǎn)． 　　又若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象又經(jīng)過原點(diǎn)，則這個(gè)函數(shù)一定是在(－∞，＋∞)上的增函數(shù)． 　　設(shè)這些冪函數(shù)中分別具備性質(zhì)(1)(2)(3)的函數(shù)分別構(gòu)成集合A、B、C，而冪指數(shù)小于零的構(gòu)成集合D，依題意得 　　 　　即共有冪函數(shù)21個(gè)． 　　又冪指數(shù)小于零的冪函數(shù)圖象一定不經(jīng)過原點(diǎn)，反之亦然，故其中冪指數(shù)小于零的函數(shù)有21－18＝3個(gè)．

提示：

充分考慮冪函數(shù)的性質(zhì)，合理運(yùn)用集合理論解題．