Question

已知函數(shù)f（x）的圖象是在[a，b]上連續(xù)不斷的曲線，定義：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）；f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）其中，min{f（t）|t∈D}表示函數(shù)f（t）在D上的最小值，max{f（t）|t∈D}表示函數(shù)f（t）在D上的最大值．若存在最小正整數(shù)k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)．
（1）求f₁（x），f₂（x）的表達(dá)式；
（2）判斷f（x）是否為上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，請(qǐng)求對(duì)應(yīng)的k的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可得，．…
（2）f₂（x）-f₁（x）=2sinx．…
若f（x）是為上的“k階收縮函數(shù)”，則2sinx≤kx在上恒成立…
且，使得2sinx＞（k-1）x成立．…
令，則φ′（x）=cosx-1＜0．…
∴φ（x）=sinx-x在單調(diào)遞減，
∴，即sinx-x≤0…
于是2sinx≤2x在恒成立．
又，2sinx＞x成立
故存在最小的正整數(shù)k=2，使得f（x）是為上的“k階收縮函數(shù)”…
分析：（1）利用新定義，代入計(jì)算，可得f₁（x），f₂（x）的表達(dá)式；
（2）由題意，f₂（x）-f₁（x）=2sinx，若f（x）是為上的“k階收縮函數(shù)”，則2sinx≤kx在上恒成立，且，使得2sinx＞（k-1）x成立，構(gòu)建新函數(shù)φ（x）=sinx-x，判斷函數(shù)在單調(diào)遞減，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生對(duì)新問(wèn)題的理解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．