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        1. 已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=
          1
          2
          ,公比q=
          1
          2
          的等比數(shù)列.設(shè)bn+2=3log
          1
          2
          an(n∈N*)
          ,數(shù)列{cn}滿足cn=an•bn
          (I)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
          (II)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn
          分析:(I)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得an,利用對(duì)數(shù)性質(zhì)可求得log
          1
          2
          an=n,從而可求得bn=3n-2,利用bn+1-bn為定值即可;
          (II)由于cn=(3n-2)•(
          1
          2
          )
          n
          ,Sn=c1+c2+…+cn,利用錯(cuò)位相減法即可求得Sn
          解答:解:(I)證明:∵a1=
          1
          2
          ,公比q=
          1
          2
          ,
          ∴an=
          1
          2
          (
          1
          2
          )
          n-1
          =(
          1
          2
          )
          n
          ,
          log
          1
          2
          an=n,
          又bn+2=3log
          1
          2
          an=3n,
          ∴bn=3n-2,b1=1,
          ∴bn+1=3(n+1)-2,
          ∴bn+1-bn=3,
          ∴{bn}是1為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列;
          (II)由(Ⅰ)知bn=3n-2,an=(
          1
          2
          )
          n
          ,
          ∴cn=an•bn=(3n-2)•(
          1
          2
          )
          n
          ,
          ∴Sn=1×(
          1
          2
          )
          1
          +4×(
          1
          2
          )
          2
          +7×(
          1
          2
          )
          3
          +…+(3n-2)×(
          1
          2
          )
          n

          1
          2
          Sn=1×(
          1
          2
          )
          2
          +4×(
          1
          2
          )
          3
          +7×(
          1
          2
          )
          4
          +…+(3n-5)×(
          1
          2
          )
          n
          +(3n-2)×(
          1
          2
          )
          n+1

          故①-②得:
          1
          2
          Sn=1×
          1
          2
          +3×(
          1
          2
          )
          2
          +3×(
          1
          2
          )
          3
          +3×(
          1
          2
          )
          4
          +…+3×(
          1
          2
          )
          n
          -(3n-2)×(
          1
          2
          )
          n+1

          1
          2
          Sn=
          1
          2
          +3×
          (
          1
          2
          )
          2
          [1-(
          1
          2
          )
          n-1
          ]
          1-
          1
          2
          -(3n-2)×(
          1
          2
          )
          n+1
          =2-
          4+3n
          2n+1
          ,
          ∴Sn=4-
          4+3n
          2n
          點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)關(guān)系的確定,考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列求和,著重考查錯(cuò)位相減法,考查推理與運(yùn)算能力,屬于難題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且b1=1,bn>0,數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列.
          (Ⅰ)求{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
          (Ⅱ)求證:
          1
          S1
          +
          1
          S2
          +…+
          1
          Sn
          3
          4

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=
          1
          4
          的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn中S3,S4,S2成等差數(shù)列,
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)設(shè)bn=log
          1
          2
          |an|,若Tn=
          1
          b1b2
          +
          1
          b2b3
          +…+
          1
          bnbn+1
          ,求證:
          1
          6
          ≤Tn
          1
          2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,且公差不為零,而等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)分別是a1,a2,a6
          (I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an
          (II)若b1+b2+…bk=85,求正整數(shù)k的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,又?jǐn)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=nan
          (Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
          (Ⅱ)若cn=
          1bn(2an+3)
          ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=a,公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足2bn=(n+1)an;
          (1)若a1、a3、a4成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)若對(duì)任意n∈N*都有bn≥b5成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)數(shù)列{cn}滿足 cn+1-cn=(
          12
          )n(n∈N*)
          ,其中c1=1,f(n)=bn+cn,當(dāng)a=-20時(shí),求f(n)的最小值(n∈N*).

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          同步練習(xí)冊(cè)答案