Question

如圖，三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是1的等邊三角形，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)．
（1）求MN的長(zhǎng)；
（2）求證：PA⊥BC；
（3）求三棱錐P-ABC的表面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先連接MB，MC．根據(jù)三棱錐P-ABC 的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是1 的等邊三角形，得出底面△ABC 也是邊長(zhǎng)為1 的等邊三角形．在Rt△MNB 中利用勾股定理即可求得MN的長(zhǎng)；
（2）由M 是PA 的中點(diǎn)，得出 PA⊥MB，同理 PA⊥MC．根據(jù)線面垂直的判定定理得出 PA⊥平面MBC，再由線面垂直的性質(zhì)定理可得 PA⊥BC；
（3）根據(jù)三棱錐P-ABC 的三個(gè)側(cè)面和底面均為邊長(zhǎng)是1 的等邊三角形，結(jié)合面積公式得出三棱錐P-ABC 的表面積．
解答：解：（1）連接MB，MC．
因?yàn)?三棱錐P-ABC 的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是1 的等邊三角形，
所以 ，且底面△ABC 也是邊長(zhǎng)為1 的等邊三角形．
因?yàn)?N 為BC 的中點(diǎn)，所以 MN⊥BC．在Rt△MNB 中，．…4分
（2）證明：因?yàn)镸 是PA 的中點(diǎn)，所以 PA⊥MB，同理 PA⊥MC．
因?yàn)?MB∩MC=M，所以 PA⊥平面MBC，
又因?yàn)?BC?平面MBC，所以 PA⊥BC．…8分
（3）因?yàn)?側(cè)面等邊三角形APB 的面積為，
且三棱錐P-ABC 的三個(gè)側(cè)面和底面均為邊長(zhǎng)是1 的等邊三角形，
所以 三棱錐P-ABC 的表面積為．…12分
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間中直線與直線之間的位置關(guān)系、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．