Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實(shí)數(shù)），x∈R，F(xiàn)（x）=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

（1）若f（-1）=0，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求F（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f（-1）=0和函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），建立方程關(guān)系，即可求出a，b，從而確定F（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，利用g（x）=f（x）-kx的單調(diào)區(qū)間與對(duì)稱軸之間的關(guān)系建立不等式進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0，①
∵函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），
∴a＞0且判別式△=0，即b²-4a=0，②
由①②得a=1，b=2．
∴f（x）=ax²+bx+1═x²+2x+1．
∴F（x）=

x2+2x+1，  x＞0 -x2-2x-1， x＜0

．
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-

2-k

2

=

k-2

2

，
要使函數(shù)g（x）=f（x）-kx，在x∈[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，
則區(qū)間[-2，2]必在對(duì)稱軸的一側(cè)，
即

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤-2，
解得k≥6或k≤-2．
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≥6或k≤-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及二次函數(shù)單調(diào)性與對(duì)稱軸之間的關(guān)系．