Question

已知函數(shù)，，（1）若的最小值為2，求值；（2）設(shè)函數(shù)有零點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

（1）1；（2）.

試題分析：（1）本小題可利用對(duì)勾函數(shù)（a>0,b>0）的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，在x=時(shí)，取最小值完成求值；（2）本小題等價(jià)于方程 有實(shí)根時(shí)求的最小值問(wèn)題，令，問(wèn)題可化為方程（）有實(shí)根問(wèn)題.
試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)為對(duì)勾函數(shù)，而為偶函數(shù)，所以只需把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為考慮時(shí)，有最小值為2，求值問(wèn)題，令，可得，代入中，有，得.
（2）等價(jià)于方程 有實(shí)根，x=0顯然不是根．令, x為實(shí)數(shù)，則，同時(shí)有：，方程兩邊同時(shí)除以,得：，即，此方程有根，令 ，有根則= -4(b-2) 0，若根都在(-2,2),則有=2-2a+b>0, =2+2a+b>0, 即, 也可表為，故有的根的范圍是：, 即，故，當(dāng)b=時(shí)，a=時(shí), 取得最小值.
（另解：由于，則，從而，令，從而，從而.當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).故的最小值為.