Question

設曲線在點處的切線斜率為,且.對一切實數(shù),不等式恒成立(≠0).

(1) 求的值；

(2) 求函數(shù)的表達式；

(3) 求證:＞．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3) 要證原不等式，即證因為

所以

=所以

【解析】

試題分析：（1）由，所以     2分

（2），由，得    3分

                4分

又恒成立，則由恒成立得

，                6分

同理由恒成立也可得:       7分

綜上，，所以       8分

（3）

要證原不等式，即證

因為

所以

=

所以                12分

本小問也可用數(shù)學歸納法求證。證明如下：

由

當時，左邊=1，右邊=，左邊>右邊，所以，不等式成立

假設當時，不等式成立，即

當時，

左邊=

由

所以

即當時，不等式也成立。綜上得

考點：函數(shù)導數(shù)，求函數(shù)解析式及不等式證明

點評：函數(shù)求解析式采用的是待定系數(shù)法，由已知條件找到的關(guān)系式，期間將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)性質(zhì)的考察，第三問在證明不等式時用到了放縮法，這種方法對學生有一定的難度